～ませんか

～ませんか es la forma negativa interrogativa de la forma MASU (ます形). 
Esta construcción se utiliza para realizar invitaciones de manera formal.
Una construcción muy similar es ～ましょうか  『Ｎ５』, aunque en este caso se propone una acción conjunta a la persona a la que se le realiza la pregunta.

Uso

Ｖ～ませんか。

G1: 話す　⇒　話しませんか
G2: 食べる　⇒　食べませんか
G3: する　⇒　しませんか
　　　来る　⇒　来ませんか　（きませんか）

Ejemplos

①　一緒に映画を見ませんか。
     ¿Vemos juntos una película?

②　明日パーティーに行きませんか。
     ¿Qué tal si vamos mañana a la fiesta? 　 

③　あの喫茶店でお茶しませんか。
     ¿Te apetece tomar algo en aquella cafetería? 

Nota

～ませんか es más educado que ～ましょうか al realizar una invitación.

Traduciéndolo de una forma literal, para que se entienda la idea:

お茶しませんか。
¿Tomamos algo? (Te pregunto si quieres, o si no quieres. Tengo en cuenta tu opinión)

お茶しましょうか。
Tomemos algo, ¿no? (Me incluyo en la invitación y te digo que tomes algo conmigo. De alguna manera, estoy omitiendo tu opinión)

En realidad es un matiz, y tampoco es que haya una diferencia abismal entre ambas, pero ～ませんか es más educado.